2017年6月12日 星期一

中國,1991年全國統一高考數學試卷(文科),第10題

==問題==

從4台甲型和5台乙型電視機中任意取出3台,其中至少要有甲型與乙型電視機各1台,則不同的取法共有
(A)140種(B)84種 (C)70種(D)35種

==解==

此題題意不清,未能從題設判斷出電視機是否視為相同物。

分兩種情況討論。

情形1:4台甲型電視機都是相同的、5台乙型電視機都是相同的

此時要區分不同取法,判斷標準為所選取的3台電視機中,有多少台是甲型、多少台是乙型。

假定選取了$x_1$台甲型、$x_2$台乙型,於是得$x_1+x_2=3$,所求選取方法數即為此方程式的非負整數解個數。但注意其中$x_1, x_2 \geq 1$,於是乎原方程式可轉化為$x_1'+x_2'=1$,其中$x_1', x_2' \geq 0$,而此方程式之非負整數解個數為$H(2, 1)=C(2+1-1, 1)=C(2, 1)=2$。故共有2種取法。

這2種取法,實際列出其實是:

  • 取法1:2甲1乙;
  • 取法2:1甲2乙。

然而此情況之討論結果相對照選項,可知出題者應未將電視機是為相同的。

情形2:4台甲型電視機都是相異的、5台乙型電視機都是相異的

我們可假設4台甲型電視機為:$a_1, a_2, a_3, a_4$,5台乙型電視機為:$b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$。
  • 所選取3台電視機中,其中有2台甲型電視機與1台乙型電視機
此時有$C(4, 2) \times C(5, 1)=6 \times 5 =30$種方法。
  • 所選取3台電視機中,其中有1台甲型電視機與2台乙型電視機
此時有$C(4, 1) \times C(5, 2)=4 \times 10 =40$種方法。

因此總共有$30+40=70$種方法,故選(C)。

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