中垂線性質

=中垂線性質=

考慮線段$\overline{AB}$，設$L$為其中垂線。若$P$為$L$上任一點，則$\overline{PA}=\overline{PB}$。

換句話說，中垂線上任一點到線段兩端點等距。

=證明=

假設$\overline{AB}$的中點為$M$。顯然有$\overline{MA}=\overline{MB}$。所以以下討論$P \neq M$之情況。

考慮$\triangle PMA$與$\triangle PMB$，皆為直角三角形，其中$\overline{MA}=\overline{MB}$且$\overline{PM}$為共用邊。應用商高定理(Pythagoras' theorem)，得

\begin{eqnarray*}
\overline{PA}
&=& \sqrt{\overline{MA}^2 + \overline{PM}^2} \\
&=& \sqrt{\overline{MB}^2 + \overline{PM}^2} \\
&=& \overline{PB}
\end{eqnarray*}

(證明終了)