104年，學測，數學，單選3

題目

有兩組供機器運作的配件$A, B$，其單獨發生故障的機率分別為$0.1, 0.15$。 只有當$A, B$都發生故障時，此機器才無法運作。$A, B$兩配件若用串接方式，前面故障會導致後面故障，但若後面故障則不會影響前面的故障情形；若用並列方式，則故障情形互不影響。若考慮以下三種情形：

(一) 將$B$串接於$A$之後

(二) 將$A$串接於$B$之後

(三) 將$A, B$獨立並列

在情況 (一)、 (二)、 (三)之下，機器無法運作的機率分別為$p_{1}, p_{2}, p_{3}$。請選出正確的選項。


(1) $p_{1} > p_{2} > p_{3}$

(2) ${p_2} > {p_1} > {p_3}$

(3) ${p_3} > {p_2} > {p_1}$

(4) ${p_3} > {p_1} > {p_2}$

(5) ${p_1} = {p_2} > {p_3}$

解答

按題意有$3$種接法

現在分情況討論。

(甲) 一旦$A$故障，則$B$亦跟著故障（無論$B$原本是否已故障），所以系統故障機率取決於$A$故障的機率，因此$p_{1} = 0.1$。

(乙) 一旦$B$故障，則$A$亦跟著故障（無論$A$原本是否已故障），所以系統故障機率取決於$B$故障的機率，因此$p_{2} = 0.15$。

(丙) 只有在$A, B$同時故障之情況下才會使系統故障。注意$A, B$故障互為獨立事件，因此若記$A \cap B$為$A, B$同時故障之事件，則由條件機率之定義有
$$p_{3} = P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.1 \times 0.15 = 0.015.$$
由以上討論知$p_{2} > p_{1} > p_{3}$，選$(2)$。