三角函數積化和差的一個推導方式

        在證明三元算幾不等式$\frac{p + q + r}{3} \ge \sqrt[3]{pqr}$時，我們會用到以下的因式分解

$$a^3 + b^3 +c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab - bc - ca).$$ 

其中

\begin{eqnarray*}  a^2 +b^2 +c^2 -ab - bc - ca &=& \frac{1}{2}\left( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 -2ab - 2bc - 2ca \right) \\ &=& \frac{1}{2} \left[ (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 -2ca +a^2) \right] \\ &=& \frac{1}{2} \left[ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right]. \end{eqnarray*}

這裡用到一個特殊的技巧是$a^2 +b^2 +c^2 -ab - bc - ca = \frac{1}{2}\left( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 -2ab - 2bc - 2ca \right)$，才可在後續進行配方。我將這個技巧稱為「內乘2、外除2」。

        現在，我們使用這個技巧來推導三角函數的積化和差。以$\sin x \cdot \sin y$為例：

\begin{eqnarray*}  \sin x \cdot \sin y &=& \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin x \cdot \sin y \\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( 2 \sin x \sin y + \cos x \cos y - \cos x \cos y \right) \\ &=& \frac{1}{2} \left[ (\cos x \cos y + \sin x \cdot \sin y) - (\cos x \cos y - \sin x \sin y) \right] \\ &=& \frac{1}{2} \left[ \cos (x-y) - \cos (x+y) \right] \end{eqnarray*}

同樣的技巧，也可以推導出

\begin{eqnarray*}  \sin x \cdot \cos y &=& \frac{1}{2} \left[ \sin (x + y) + \sin (x - y) \right],  \\  \cos x \cdot \cos y &=& \frac{1}{2} \left[ \cos (x+y) + \cos (x - y) \right]. \end{eqnarray*}

我個人認為，這樣的作法，大概比傳統從和、差角公式出發來的簡潔。