操場追趕相遇問題

==問題== 

紅鬍子和藍鬍子在two piece國中的操場跑步，兩人同時同地逆時針出發，紅鬍子跑步速度比藍鬍子快，當藍鬍子第一次被紅鬍子從背後追上時，藍鬍子馬上轉身沿順時針方向跑。兩人的跑步速度維持不變，當兩人第二次相遇時，紅鬍子恰好跑了四圈，請問紅鬍子的速度是藍鬍子的幾倍？

==解答==

首先進行以下假定：

• 紅鬍子的速度為，每單位時間內，移動x單位距離；
• 藍鬍子的速度為，每單位時間內，移動y單位距離；
• 操場一圈的長度為d單位。

由題目條件「紅鬍子跑步速度比藍鬍子快」，所以可知$x > y$，從而可知，每單位時間內，紅鬍子會超過藍鬍子$x - y$單位。

兩人第1次相遇時，意味著紅鬍子所移動的距離，剛好比藍鬍子多1圈，也就是d單位。因此可知兩人第1次相遇的時刻為$\frac{d}{x - y}$。

因為我們假定紅鬍子在每單位時間中，會移動x單位距離，所以紅鬍子跑完1圈需時$\frac{d}{x}$單位時間。

根據題目條件「兩人第二次相遇時，紅鬍子恰好跑了四圈」，所以兩人第2次相遇的時刻為$\frac{d}{x} \times 4$。

現在讓我們來思考第1次相遇和第2次相遇之間的這段過程。

在第2次相遇時，題目說「紅鬍子恰好跑了四圈」，這表示兩人第2次相遇的位置是在出發點。

如果我們用指針式時鐘來想像，假設紅、藍鬍子一開始都是從鐘面數字12出發，然後在鐘面數字8的位置第1次相遇，於是因為藍鬍子立即折返，所以藍鬍子接下來的位置依序會是$8 \rightarrow 9 \rightarrow 10 \rightarrow \cdots$，而紅鬍子接下來的位置依序是$8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow \cdots$。我們剛剛已經知道兩人第2次相遇的位置是在出發點，也就是鐘面數字12的位置。那麼現在就清楚了，從第1次相遇到第2次相遇為止，兩人的位置分別依序是

藍鬍子：$8 \rightarrow 9 \rightarrow 10 \rightarrow 11 \rightarrow 12$；

紅鬍子： $8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 12$。

仔細觀察就可發現，兩人在這段時間（第1次相遇到第2次相遇）之內，移動距離的總和正好是整圈！

在前面我們已經知道了第1次相遇的時刻為$\frac{d}{x - y}$，第2次相遇的時刻為$\frac{d}{x} \times 4$，所以從第1次相遇到第2次相遇為止，一共經過了$\frac{4d}{x} - \frac{d}{x - y}$單位時間。

代入前面關於速度的假設，可以得到

$$\underbrace{x \cdot \left( \frac{4d}{x} - \frac{d}{x - y} \right)}_{紅鬍子移動距離} + \underbrace{y \cdot \left( \frac{4d}{x} - \frac{d}{x - y} \right)}_{藍鬍子移動距離} = \underbrace{d}_{整圈長度}$$

化簡此式。以分配律展開得

$$4d - \frac{dx}{x - y} + \frac{4dy}{x} - \frac{dy}{x - y} = d,$$

因為距離$d \ne 0$，所以等式兩邊同時約掉d，得

$$4 - \frac{x}{x - y} + \frac{4y}{x} - \frac{y}{x - y} = 1.$$

為了消去分母，等式左右兩邊同時乘以$x(x - y)$，得

$$4x(x - y) - x^2 + 4y(x - y) - xy = x(x - y),$$

再以分配律展開，並進行同類項化簡後，可得

$$x^2 - 2y^2 = 0.$$

即可解出

$$\frac{x}{y} = \sqrt{2}.$$

因此紅鬍子的速度是藍鬍子的$\sqrt{2}$倍。

==出處==