Apostol Linear Algebra Exercise 0.13.1

問題

對所有整數$n \geq 1$，用歸納法證明下列公式：

(a) $\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$；

(b) $\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^3 = \left( \sum_{k = 1}^{n} k \right)^2$。

解答

(a) $n = 1$時，$\displaystyle \sum_{k = 1}^{1} k = 1 = \frac{1(1 + 1)}{2}$，是以命題成立。

設命題在$n - 1$時成立，也就是有
$$\sum_{k = 1}^{n-1} k = \frac{(n - 1)[(n - 1) + 1]}{2}.$$

$n$時，
\begin{align}
\sum_{k = 1}^{n} k
&= \sum_{k = 1}^{n - 1} k + n \notag \\
&= \frac{(n - 1)[(n - 1) + 1]}{2} + n \quad [\text{歸納假設}] \notag \\
&= \frac{(n - 1)n}{2} + \frac{2n}{2} \notag \\
&= \frac{n^2 - n + 2n}{2} \notag \\
&= \frac{n^2 + n}{2} \notag \\
&= \frac{n(n + 1)}{2} \notag
\end{align}
故由數學歸納法得證。

(證明終了)

(b) $n = 1$時，$\displaystyle \sum_{k = 1}^{1} k^3 = 1^3 = 1 = 1^2 = \left( \sum_{k = 1}^{1} k \right)^2$，是以命題成立。

設命題在$n - 1$時成立，即有
$$\sum_{k = 1}^{n - 1} k^3 = \left( \sum_{k = 1}^{n - 1} k \right)^2.$$

$n$時，
\begin{align}
\sum_{k = 1}^{n} k^3
&= \sum_{k = 1}^{n - 1} k^3 + n^3 \notag \\
&= \left( \sum_{k = 1}^{n - 1} k \right)^2 + n^3 \quad [\text{歸納假設}] \notag \\
&= \left[ \frac{(n - 1)[(n - 1) +1]}{2} \right]^2 + n^3 \quad [\text{習題}0.13.1(a)] \notag \\
&= \frac{(n - 1)^2 \cdot n^2}{2^2} + \frac{4n^3}{2^2} \notag \\
&= \frac{n^4 - 2n^3 + n^2 + 4n^3}{2^2} \notag \\
&= \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{2^2} \notag \\
&= \frac{n^2 (n^2 + 2n + 1)}{2^2} \notag \\
&= \frac{n^2 (n + 1)^2}{2^2} \notag \\
&= \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2 \notag \\
&= \left( \sum_{k = 1}^{n} k \right)^2 \quad [\text{習題}0.13.1(a)] \notag
\end{align}
故由數學歸納法得證。

(證明終了)