106，指考，數學甲，單選4

==問題==

已知一實係數三次多項式$f(x)$在$x=1$有極大值$3$，且圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$，試問$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x$之值為下列哪一個選項？
(1) $-5$
(2) $-3$
(3) $0$
(4) $3$
(5) $5$

[106，指考，數學甲，單選4]

==解答==

「$f(x)$在$x=1$有極大值$3$」$\Rightarrow$ (i) $f(1) = 3$；(ii) $f'(1)=0$。

「圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$」，與點斜式$y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0)$相比較，可知$f'(4) = -5$。

所求$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x = \left[ f'(x) \right]_{1}^{4} = f'(4) - f'(1) = -5 - 0 = -5$，選(1)。

(解答結束)