2018-01-19：數學歸納法一題

臉書好友Liu M. C.轉來一道題目徵詢我的意見，我專精中學數學，所以就獻了一回醜。

==題目==

對於任意正整數$n$，證明$\sqrt[n]{n!} \leq \frac{n+1}{2}$。

==解答==

首先，原來要求證的命題【$\sqrt[n]{n!} \leq \frac{n+1}{2}$】等價於【$n! \leq \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$】。因此我們逕直處理等價命題即可。

$n=1$時，左式$=1!=1$，右式$=\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1$，得左式$\leq$右式，命題成立。

設$n-1$時成立，即有
$$
(n-1)! \leq \left[ \frac{(n-1)+1}{2} \right]^{n-1}.
$$
整理得
$$
(n-1)! \leq \left( \frac{n}{2} \right)^{n-1}.
$$
(此即我們的「歸納假設(Inductive Hypothesis)」)

$n$時，
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{n+1}{2} \right)^n
&=& \left( \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \right)^n \\
&=& \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \left( \frac{n}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{1}{2} \right)^k \\
&=& \left( \frac{n}{2} \right)^n + n \cdot \left( \frac{n}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2} \right)^n \\
&\geq& \left( \frac{n}{2} \right)^n + n \cdot \left( \frac{n}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) \\
&=& \left( \frac{n}{2} \right)^{n-1} \left[ \left( \frac{n}{2} \right) + \frac{n}{2} \right] \\
&=& \left( \frac{n}{2} \right)^{n-1} \cdot n \\
&\geq& (n-1)! \cdot n \\
&=& n!
\end{eqnarray*}
故由數學歸納法得證。

(解答結束)

==附註==

可能會有人批評我所用的數學歸納法證明格式不太合乎一般課本所教的方式，這裡我有兩點聲明：

1. 我所用的格式，與中國、俄國的寫法是一致的。而我更喜歡這樣的寫法，因為不用再額外引進一個變數$k$。

2. 數學歸納法就是個方法，不應在這種無關緊要的地方琢磨。真要說嚴格，那是不是全部改成用集合的語言的那種寫法？神經病！