Euler常數e:Feynman的方法

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        偉大的數學家Euler提出了數學中最重要的常數之一:e,在數學的各個分支領域中都有相當重要的應用。e的介紹方式相當的多,最常見的方式為$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$,以銀行複利的方式為楔子。此外尚有數種介紹方式,譬如求解給定初始條件的常微分方程$\left\{ \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = y \\ y(0) = 1 \end{eqnarray*} \right.$,或是考慮求導不變的「無窮多次多項式」,得到${\rm e}^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \cdots$,代入$x = 1$後得到${\rm e} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$。關於這些方法的詳細介紹可以參考MIT的Gilbert Strang教授的網頁Introducing ${\rm e}^x$。108課綱在十一年級的課程中介紹了e,在國教院的課程教學手冊中,以銀行複利為介紹例。

        在以上數種介紹方式中,我認為皆不盡理想。首先,如果是以銀行複利為出發點,那麼$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$的極限操作是不合乎現實世界情況,因為不可能有任何一間銀行會時時計息,非常違反直覺認知。另外兩種介紹方式都牽扯到微積分,而且只是因為數學上的趣味而提出這樣的問題,不夠貼近正常人的感受。

        偉大的物理學家Feynman在其名著"The Feynman Lectures on Physics"中,介紹了另一種基於計算常用對數近似值的思考方式,從觀察對數表的數值變化情況導出e,我想這是一個非常理想的作法,體現了數值計算的重要性,闡釋了微積分時代前的古人是用怎樣的方式造出對數表。於是$\log 2 \approx 0.301$再也不是題目上附註的冷冰冰的數字。

        以下是我的一些心得筆記,揉合了Feynman教授的說法與我的思考。






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